গণিত (আবশ্যিক)
বিষয় কোড: ১০৯
সময়: ২ ঘন্টা ৩০ মিনিট; পূর্ণমান: ৭০
সৃজনশীল প্রশ্ন
[দ্রষ্টব্য: ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। ক বিভাগ হতে দুটি, খ বিভাগ হতে দুটি, গ বিভাগ হতে দুটি এবং ঘ বিভাগ হতে একটি করে মোট সাতটি প্রশ্নের উত্তর দাও।]
ক-বিভাগ: বীজগণিত
১) U={x∈N:1<x<8}, A={x:x2-11x+30=0}, B={x:x মৌলিক সংখ্যা} এবং C={x:4≤x<7}
ক. A সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ. দেখাও যে, (A∪B)’=A’∩B’
গ. দেখাও যে, A×(B∩C) = (A×B) ∩ (A×C)
২) x=2, y=3 এবং z=5 হলে,
ক. দেখাও যে, log(x3y2z) = ylogx + xlogy + logz
খ) $$7\log\frac{x^4}{yz}+z\log\frac{z^2}{x^3y}+y\log\frac{y^4}{x^4y}$$ এর সরলীকরণ কর।
গ) $$\frac{\log\sqrt{y^3}+y\log x-{\displaystyle\frac yx}\log(xz)}{\log(xy)-\log z}$$ এর মান নির্ণয় কর।
৩) (i) কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n এবং n তম পদ m.
(ii) $$\frac1{\sqrt2},\;-1,\;\sqrt2,\;………….$$
ক. প্রথম 99 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।
খ. (ii) অনুক্রমটির কোন পদ 8√2?
গ. (i) ধারাটির প্রথম (m+n-1) তম পদ কত?
খ-বিভাগ: জ্যামিতি
৪) Δ PQR এর PQ=QR=4 সে.মি এবং ∠Q = এক সমকোণ।
ক) ত্রিভুটি অঙ্কন কর এবং এক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি লেখ।
খ) PR বাহুর উপর A যেকোনো বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, AP2+AR2=2AQ2
গ) এমন একটি সামান্তরিক অঙ্কন কর যার একটি কোণ 60° এবং যার দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল প্রদত্ত Δ ক্ষেত্র PQR এর ক্ষেত্রফলের সমান।
৫) একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. এবং 3 সে.মি.; বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি 45° ।
ক. সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ তথ্যগুলো অঙ্কন কর।
খ. বিবরণসহ ট্রাপিজিয়ামটি আঁক।
গ. এমন একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর যার পরিসীমা ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘের সমষ্টির সমান।
৬) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অর্ন্তলিখিত।
ক. উপরিউক্ত তথ্যের আলোকে চিত্রটি আঁক।
খ. প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজটি যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি এক সরলকোণ।
গ. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে, ∠AOD + ∠BOC =180°
গ-বিভাগ: ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি
৭) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B =এক সমকোণ AC=2 এবং AB= 1
ক. ∠A এর মান কত?
খ. $$\frac{\cos ecA-secA}{\cos ecA+secA}$$ এর মান নির্ণয় কর। যখন, $$\tan A=\frac1{\sqrt3}$$
গ. সমাধান কর: 2 cos2A + 3 sinA =3
৮) একটি গাছ ঝড়ে 15 মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে মাটি স্পর্শ করেছে।
ক. সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ চিত্রটি আঁক।
খ. সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ নির্ণয় কর।
গ. ভাঙ্গা অংশ যদি দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করত সেক্ষেত্রে ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
৯) একটি সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য সে.মি ও সে.মি এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণ সে.মি.
ক. সামান্তরিকটির পরিসীমা নির্ণয় কর।
খ. সামান্তরিকটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
গ. সামান্তরিকটির পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্টি একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
ঘ-বিভাগ: পরিসংখ্যান
১০) তোমাদের শ্রেণির 60 জন শিক্ষার্থীর ওজনের (কেজি) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো :
শ্রেণিব্যাপ্তি | 45-49 | 50-54 | 55-59 | 60-64 | 65-69 | 70-74 |
গণসংখ্যা | 4 | 8 | 10 | 20 | 12 | 6 |
ক. সারণি থেকে মধ্যক শ্রেণি নির্ণয় কর।
খ. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।
গ. উপাত্তের আয়তলেখ অঙ্কন কর এবং আয়তলেখ থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর।
১১) 30 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর নিন্মরূপ:
72, 85, 78, 84, 78, 75, 69, 67, 88, 80, 74, 77, 79, 69, 74, 73, 83, 65, 75, 69, 63, 75, 86, 66, 71, 61, 62, 85, 84, 75
ক. উপরের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক নির্ণয় কর।
খ. শ্রেণি ব্যবধান ৫ ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করে প্রচুরক নির্ণয় কর।
গ. গণসংখ্যা নিবেশন সারণি থেকে অজিভ রেখা অঙ্কন কর।